Gustavo Mauricio

miércoles, 20 de junio de 2012

¿QUE ES UNA COMPUTADORA?

Una computadora es un sistema digital con tecnología microelectrónica capaz de procesar datos a partir de un grupo de instrucciones denominado programa. La estructura básica de una computadora incluye microprocesador (CPU), memoria y dispositivos de entrada/salida (E/S), junto a los buses que permiten la comunicación entre ellos. La característica principal que la distingue de otros dispositivos similares, como una calculadora no programable, es que puede realizar tareas muy diversas cargando distintos programas en la memoria para que los ejecute el procesador.

http://www.cad.com.mx/que_es_una_computadora.htm

lunes, 18 de junio de 2012

ECUACIONES DE TIPO N

F(x, y, y
0
, y
00
, . . . , y
(n)
) = 0
que liga una variable independiente x y una funci´on y = y(x) junto con una o m´as de sus derivadas.
A la funci´on y se le llama funci´on inc´ognita. Se llama orden de la ecuaci´on diferencial al de la
derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuaci´on. Se llama soluci´on de la ecuaci´on diferencial
a una funci´on y = f(x) que veriﬁca la ecuaci´on.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.-
Vamos, en esta secci´on, a estudiar la soluci´on de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuaci´on diferencial de primer orden es una ecuaci´on en la que s´olo aparecen derivadas de primer
orden y es del tipo:
y
0
=
dy
dx
= F(x, y)
una condici´on inicial se puede expresar de la forma y(xo) = y0 y una funci´on y = f(x) es soluci´on si
se cumple f
0
(x) = F(x, f(x)).
Ecuaci´on de variables separables.- Se trata de una ecuaci´on del tipo:
ϕ(x) + ψ(y)y
0
= 0 o bien ϕ(x) + ψ(y)
dy
dx
= 0,
o bien que se pueden reducir a un caso como este en el que podemos agrupar por separado las dos
variables. Entonces podemos proceder como:
ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0, luego
Z
ϕ(x)dx +
Z
ψ(y)dy = C
de donde se obtiene la soluci´on.
Ecuaciones homog´eneas.- Una funci´on de dos variables f(x, y) se llama homog´enea de grado n si
veriﬁca, para todo n´umero real λ que:
f(λx, λy) = λ
n
f(x, y)
Una ecuaci´on diferencial es homog´enea si se puede escribir de la forma:
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0
donde f y g son funciones homog´eneas del mismo grado. Entonces haciendo el cambio de variable
y = xv donde v es una funci´on de x v = v(x) derivable; entonces dy = vdx + xdv y la ecuaci´on
homog´enea se reduce a una ecuaci´on de variables separables.
Ecuaciones lineales de primer orden.- Una ecuaci´on diferencial de primer orden es una ecuaci´on
diferencial que s e puede escribir de la forma:
y
0
+ p(x)y = q(x), o bien
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
donde p y q son dos funciones continuas.Si q(x) = 0, la ecuaci´on se llama lineal homog´enea y tenemos una ecuaci´on de variables separables
que se puede resolver:
dy
dx
+ p(x)y = 0, luego
dy
y
+ p(x)dx = 0
e integrando obtenemos
ln |y| +
Z
p(x)dx = ln C, de donde ln |y| − ln C = −
Z
p(x)dx
ln
y
C
= −
Z
p(x)dx y despejando y = Ce
−
R
p(x)dx
.
Si q(x) = 0, resolvemos, como antes, el caso en que 6 q(x) = 0 y entonces hacemos variar la constante c
como una funci´on c = c(x) y ponemos
y = c(x)e
−
R
p(x)dx
; de donde y
0
= c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
− c(x)e
−
R
p(x)dx
p(x)
si sustituimos en la ecuaci´on diferencial inicial:
c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
− c(x)e
−
R
p(x)dx
p(x) + p(x)c(x)e
−
R
p(x)dx
= q(x)
y simpliﬁcando
c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
= q(x), luego c(x) =
Z
q(x)e
R
p(x)dx
dx + K
Algunas ecuaciones que no son de este tipo se pueden transformar en lineales; por ejemplo:
y
0
+ p(x)y = q(x)y
n
que recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de Bernoulli y que, si n = 0 es lineal y si n = 1 es de
variables separables. Si n no es ni 0 ni 1, podemos dividir ambos miembros por y
n
y nos queda:
y
0
y
n
+ p(x)
y
y
n
= q(x), de donde
y
0
y
n
+ p(x)y
1−n
= q(x)
si hacemos el cambio z = y
1−n
tenemos que
z
0
= (1 − n)y
−n
y
0
= (1 − n)
y
0
y
n
por tanto
z
0
1 − n
=
y
0
y
n
si sustituimos en la ´ultima de las expresiones anteriores obtenemos
z
0
1 − n
+ p(x)z = q(x) y por tanto z
0
+ (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x)
que s´ı es una ecuaci´on lineal.
Ecuaciones lineales de orden n.- Una ecuaci´on diferencial de orden n es una ecuaci´on diferencial
en la que aparecen derivadas hasta el orden n del tipo
y
(n)
+ p1(x)y
(n−1)
+ p2(x)y
(n−2)
+ pn(x)y = q(x)
donde las funciones pi(x) con i = 1, . . . , n y q(x) son continuas en un intervalo adecuado. Si q(x) = 0
la ecuaci´on se llama homog´enea.
Hemos de tener en cuenta las propiedades siguientes:
1. Si y1, . . . , yn son n soluciones de una ecuaci´on diferencial de orden n homog´enea y c1, . . . , cn son
constantes, entonces la funci´on y = c1y1 + · · · + cnyn es, tambi´en, soluci´on de dicha ecuaci´on.2. Si y1, . . . , yn son soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n linealmente independientes, entonces la soluci´on general es y = c1y1 + · · · + cnyn, donde c1, . . . , cn son constantes
adecuadas.
Ecuaciones lineales homog´eneas de coeﬁcientes constantes.-
Una ecuaci´on lineal de orden n homog´enea y de coeﬁcientes constantes, es una ecuaci´on del tipo:
y
(n)
+ a1y
(n−1)
+ a2y
(n−2)
+ · · · + any = 0
donde a1, . . . , an son constantes.
A la ecuaci´on
λ
n
+ a1λ
n−1
+ a2λ
n−2
+ · · · + an = 0
se le llama ecuaci´on caracter´ıstica.
Si λ1, . . . , λn son la soluciones de esta ecuaci´on, se pueden presentar los siguientes casos:
1. λ1, . . . , λn son reales y distintas. Entonces las soluciones linealmente independientes son
e
λ1x
, . . . , e
λnx
con lo que la soluci´on general viene dada por:
y = c1e
λ1x
+ · · · + cne
λnx
2. λ1, . . . , λn son reales y algunas de ellas m´ultiples, por ejemplo λ1 tiene multiplicidad r y λ2 tiene
multiplicidad s siendo las dem´as hasta λn ra´ıces simples. Entonces la soluci´on viene dada por
y = c1e
λ1x
+ c2xe
λ1x
+ · · · + crx
r−1
e
λ1x
+
+cr+1e
λ2x
+ cr+2xe
λ2x
+ · · · + cr+sx
s−1
e
λ2x
+
+cr+s+1e
λr+s+1x
+ · · · + cne
λnx
3. Algunas ra´ıces son complejas, por ejemplo λ1 = a+bi y λ3 = c+di, por tanto tendremos tambi´en
las conjugadas λ2 = a − bi y λ4 = c − di, (con b, d = 0). Entonces la soluci´on viene dada por: 6
y = c1e
ax
cos bx + c2e
ax
sen bx + c3e
cx
cos dx + c4e
cx
sen dx + c5e
λ5x
+ · · · + cne
λnx
4. Algunas ra´ıces son complejas y algunas de estas ra´ıces son m´ultiples; por ejemplo si λ1 = a + bi
tiene multiplicidad k ≤
n
2
, entonces λ2 = a−bi tambi´en tiene multiplicidad k y la soluci´on viene
dada por:
y = c1e
ax
cos bx + c
ax
e
sen bx + c3xe
ax
cos bx + c4xe
ax
sen bx + · · · +
+c2k−1x
k−1
e
ax
cos bx + c2kx
k−1
e
ax
sen bx + . . .

http://www.um.es/docencia/pherrero/ec_dif.pdf

ECUACIONES DE 2" GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

ECUACIONES DE 1° GRADO

1.- Definición: Se llama ecuación de primer grado con una variable a toda ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde:

a,b : son números reales.
a : coeficiente de la variable
b : término independiente
x : variable o incognita

2.- Resolución de una ecuación de primer grado con una variable

Para resolver estas ecuasciones debemos seguir los siguientes pasos:

1º Se resuelven los paréntesis y corchetes.
2º Se efectúan las operaciones indicadas.
3º Se reunen en un miembro todos los términos que contengan la variable y en otro miembro todas las cantidades numéricas.
4º Se reducen los términos semejantes en ambos miembros.
5º Se despeja la incognita o variable.
6º Se comprueba la ecuación reemplazando el resultado en la variable.

* Recuerda: cuando un término pasa de un miembro a otro miembro cambia de signo.

EJEMPLOS

Ecuación de primer grado con una incógnita: $3x-2=x+1\;\!$ .
Ecuación de primer grado con dos incógnitas: $x-2=y+1\;\!$

http://mialgebra.blogspot.mx/2007/08/ecuaciones-de-primer-grado-con-una.html

ÁLGEBRA Y SU RELACIÓN CON LA INFORMATICA

Lineal significa que las variables con las que se trabaja son de exponente 1, por tanto, que de existir solución real para una/alguna/todas ellas, ésta es única.

El Álgebra Lineal es, por ejemplo, los sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas que se estudian en el último año de bachillerato, a partir de los cuales se elaboran las matrices de coeficientes, las cuales se construyen con los coeficientes (en orden) que acompañan a cada una de las variables del sistema de ecuaciones lineales dado.

Esta Matriz de Coeficientes, en informática, puede significarnos por ejemplo en un lenguaje de programación de código C+ el color que ha de emitir un píxel en la pantalla o un píxel en una fotografía digital.

Por ejemplo, imaginémos que en esa matriz (de 3filas y 3columnas) donde la primera fila determinase el grado de rojo, la segunda fila el grado de verde, y la tercera el grado de azul (al código de estos tres colores es a lo que se conoce como RGB, Red, Green, Blue).
Contimuando con el ejemplo anterior, supongamos que en cuanto a las columnas la primera da el color, la segunda el contraste, y la tercera el brillo.

PRINCIPALES USOS DE EL ÁLGEBRA

Las aplicaciones del Algebra Lineal en la ciencia, la ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física, ingeniería, química, biomédica, graficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Algebra Lineal.

La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica.

Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Algebra Lineal.