ECUACIONES DE TIPO N

F(x, y, y
0
, y
00
, . . . , y
(n)
) = 0
que liga una variable independiente x y una funci´on y = y(x) junto con una o m´as de sus derivadas.
A la funci´on y se le llama funci´on inc´ognita. Se llama orden de la ecuaci´on diferencial al de la
derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuaci´on. Se llama soluci´on de la ecuaci´on diferencial
a una funci´on y = f(x) que verifica la ecuaci´on.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.-
Vamos, en esta secci´on, a estudiar la soluci´on de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuaci´on diferencial de primer orden es una ecuaci´on en la que s´olo aparecen derivadas de primer
orden y es del tipo:
y
0
=
dy
dx
= F(x, y)
una condici´on inicial se puede expresar de la forma y(xo) = y0 y una funci´on y = f(x) es soluci´on si
se cumple f
0
(x) = F(x, f(x)).
Ecuaci´on de variables separables.- Se trata de una ecuaci´on del tipo:
ϕ(x) + ψ(y)y
0
= 0 o bien ϕ(x) + ψ(y)
dy
dx
= 0,
o bien que se pueden reducir a un caso como este en el que podemos agrupar por separado las dos
variables. Entonces podemos proceder como:
ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0, luego
Z
ϕ(x)dx +
Z
ψ(y)dy = C
de donde se obtiene la soluci´on.
Ecuaciones homog´eneas.- Una funci´on de dos variables f(x, y) se llama homog´enea de grado n si
verifica, para todo n´umero real λ que:
f(λx, λy) = λ
n
f(x, y)
Una ecuaci´on diferencial es homog´enea si se puede escribir de la forma:
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0
donde f y g son funciones homog´eneas del mismo grado. Entonces haciendo el cambio de variable
y = xv donde v es una funci´on de x v = v(x) derivable; entonces dy = vdx + xdv y la ecuaci´on
homog´enea se reduce a una ecuaci´on de variables separables.
Ecuaciones lineales de primer orden.- Una ecuaci´on diferencial de primer orden es una ecuaci´on
diferencial que s e puede escribir de la forma:
y
0
+ p(x)y = q(x), o bien
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
donde p y q son dos funciones continuas.Si q(x) = 0, la ecuaci´on se llama lineal homog´enea y tenemos una ecuaci´on de variables separables
que se puede resolver:
dy
dx
+ p(x)y = 0, luego
dy
y
+ p(x)dx = 0
e integrando obtenemos
ln |y| +
Z
p(x)dx = ln C, de donde ln |y| − ln C = −
Z
p(x)dx
ln
y
C
= −
Z
p(x)dx y despejando y = Ce
−
R
p(x)dx
.
Si q(x) = 0, resolvemos, como antes, el caso en que 6 q(x) = 0 y entonces hacemos variar la constante c
como una funci´on c = c(x) y ponemos
y = c(x)e
−
R
p(x)dx
; de donde y
0
= c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
− c(x)e
−
R
p(x)dx
p(x)
si sustituimos en la ecuaci´on diferencial inicial:
c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
− c(x)e
−
R
p(x)dx
p(x) + p(x)c(x)e
−
R
p(x)dx
= q(x)
y simplificando
c
0
(x)e
−
R
p(x)dx
= q(x), luego c(x) =
Z
q(x)e
R
p(x)dx
dx + K
Algunas ecuaciones que no son de este tipo se pueden transformar en lineales; por ejemplo:
y
0
+ p(x)y = q(x)y
n
que recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de Bernoulli y que, si n = 0 es lineal y si n = 1 es de
variables separables. Si n no es ni 0 ni 1, podemos dividir ambos miembros por y
n
y nos queda:
y
0
y
n
+ p(x)
y
y
n
= q(x), de donde
y
0
y
n
+ p(x)y
1−n
= q(x)
si hacemos el cambio z = y
1−n
tenemos que
z
0
= (1 − n)y
−n
y
0
= (1 − n)
y
0
y
n
por tanto
z
0
1 − n
=
y
0
y
n
si sustituimos en la ´ultima de las expresiones anteriores obtenemos
z
0
1 − n
+ p(x)z = q(x) y por tanto z
0
+ (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x)
que s´ı es una ecuaci´on lineal.
Ecuaciones lineales de orden n.- Una ecuaci´on diferencial de orden n es una ecuaci´on diferencial
en la que aparecen derivadas hasta el orden n del tipo
y
(n)
+ p1(x)y
(n−1)
+ p2(x)y
(n−2)
+ pn(x)y = q(x)
donde las funciones pi(x) con i = 1, . . . , n y q(x) son continuas en un intervalo adecuado. Si q(x) = 0
la ecuaci´on se llama homog´enea.
Hemos de tener en cuenta las propiedades siguientes:
1. Si y1, . . . , yn son n soluciones de una ecuaci´on diferencial de orden n homog´enea y c1, . . . , cn son
constantes, entonces la funci´on y = c1y1 + · · · + cnyn es, tambi´en, soluci´on de dicha ecuaci´on.2. Si y1, . . . , yn son soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n linealmente independientes, entonces la soluci´on general es y = c1y1 + · · · + cnyn, donde c1, . . . , cn son constantes
adecuadas.
Ecuaciones lineales homog´eneas de coeficientes constantes.-
Una ecuaci´on lineal de orden n homog´enea y de coeficientes constantes, es una ecuaci´on del tipo:
y
(n)
+ a1y
(n−1)
+ a2y
(n−2)
+ · · · + any = 0
donde a1, . . . , an son constantes.
A la ecuaci´on
λ
n
+ a1λ
n−1
+ a2λ
n−2
+ · · · + an = 0
se le llama ecuaci´on caracter´ıstica.
Si λ1, . . . , λn son la soluciones de esta ecuaci´on, se pueden presentar los siguientes casos:
1. λ1, . . . , λn son reales y distintas. Entonces las soluciones linealmente independientes son
e
λ1x
, . . . , e
λnx
con lo que la soluci´on general viene dada por:
y = c1e
λ1x
+ · · · + cne
λnx
2. λ1, . . . , λn son reales y algunas de ellas m´ultiples, por ejemplo λ1 tiene multiplicidad r y λ2 tiene
multiplicidad s siendo las dem´as hasta λn ra´ıces simples. Entonces la soluci´on viene dada por
y = c1e
λ1x
+ c2xe
λ1x
+ · · · + crx
r−1
e
λ1x
+
+cr+1e
λ2x
+ cr+2xe
λ2x
+ · · · + cr+sx
s−1
e
λ2x
+
+cr+s+1e
λr+s+1x
+ · · · + cne
λnx
3. Algunas ra´ıces son complejas, por ejemplo λ1 = a+bi y λ3 = c+di, por tanto tendremos tambi´en
las conjugadas λ2 = a − bi y λ4 = c − di, (con b, d = 0). Entonces la soluci´on viene dada por: 6
y = c1e
ax
cos bx + c2e
ax
sen bx + c3e
cx
cos dx + c4e
cx
sen dx + c5e
λ5x
+ · · · + cne
λnx
4. Algunas ra´ıces son complejas y algunas de estas ra´ıces son m´ultiples; por ejemplo si λ1 = a + bi
tiene multiplicidad k ≤
n
2
, entonces λ2 = a−bi tambi´en tiene multiplicidad k y la soluci´on viene
dada por:
y = c1e
ax
cos bx + c
ax
e
sen bx + c3xe
ax
cos bx + c4xe
ax
sen bx + · · · +
+c2k−1x
k−1
e
ax
cos bx + c2kx
k−1
e
ax
sen bx + . . .






http://www.um.es/docencia/pherrero/ec_dif.pdf